14. Сходимости случайных величин

Видеоматериалы

Сходимости случайных величин

Теория (курс Черновой)

Сходимости почти наверное и по вероятности

Сходимость почти наверное (almost everywhere)

$$\xi_n \overset{\textrm{п.н.}}{\to} \xi$$

Если

$$P(\{ \omega \in \Omega : \xi_n(\omega) \underset{n \to \infty}{\to} \xi(\omega) \}) = 1$$

или

$$P(\{ \omega \in \Omega : \xi_n(\omega) \underset{n \to \infty}{\not\to} \xi(\omega) \}) = 0$$

или эквивалентно

$$\forall \varepsilon > 0 : P(\{ \omega \in \Omega : \sup_{k \geq n} |\xi_k(\omega)-\xi(\omega)| > \varepsilon \}) \underset{n \to \infty}{\to} 0$$

По вероятности

$$\xi_n \overset{\mathbb{P}}{\to} \xi$$

Если

$$\forall \varepsilon > 0 : P(\{\omega \in \Omega : |\xi_n(\omega)-\xi(\omega)| > \varepsilon \}) \underset{n \to \infty}{\to} 0$$

Слабая сходимость мер.

$\mu_n \overset{w}{\to} \mu$, если для любой непрерывной функции $\phi(x)$ определенной на $\mathbb{R}$

$$\int_{\mathbb{R}}\phi(x)\mu_n(dx) \to \int_{\mathbb{R}}\phi(x)\mu(dx)$$

Сходимость по распределению

Определение через слабую сходимость мер:

$\xi_n \overset{d}{\to} \xi$, если для любой непрерывной функции $\phi(x)$ определенной на $\mathbb{R}$

$$\int_{\Omega}\phi(\xi_n(\omega))\mathbb{P}(d\omega) \to \int_{\Omega}\phi(\xi(\omega))\mathbb{P}(d\omega)$$

В интегралах Лебега можно производить замену переменных, поэтому:

$$\int_{\Omega}\phi(\xi(\omega))\mathbb{P}(d\omega) = \int_{\mathbb{R}}\phi(x)P^{X}(dx)$$

А значит:

$$\int_{\mathbb{R}}\phi(x)P^{x_n}(dx) \to \int_{\mathbb{R}}\phi(x)P^{X}(dx)$$

А также если немного порефлексировать, то можно заметить, что:

$$\int_{\Omega}\phi(\xi(\omega))\mathbb{P}(d\omega) = \mathbb{E}(\phi(\xi))$$

Сходимость по распределению

Определение через функции распределения:

$\xi_n \overset{d}{\to} \xi$, если для любого $x$, в котором $F_{\xi}(x)$ непрерывна имеет место сходимость:

$$\forall x F_{\xi_n}(x) \to F_{\xi}(x), F_{\mu}(x) = \mu((-\infty, x))$$

Важная теоремка:

Из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности, а из сходимости по вероятности - слабая сходимость

---

На паре

1. Пусть $\xi_n \overset{\textrm{п.н.}}{\to} 1$ и $\mu_n \overset{\textrm{п.н.}}{\to} 1$. Тогда $\xi_n + \mu_n \overset{\textrm{п.н.}}{\to} 2$

2

• Пусть $\xi_n \overset{п.н.}{\to} \xi$ и $g(x)$ - непрерывная функция. Докажите, что $g(\xi_n) \overset{п.н.}{\to} g(\xi)$
• Пусть $\xi_n \overset{d}{\to} \xi$ и $g(x)$ - непрерывная функция. Докажите, что $g(\xi_n) \overset{d}{\to} g(\xi)$

3. Пусть $(\xi_n - \xi)^2 \overset{\mathbb{P}}{\to} 0$. Доказать, что $\xi_n \overset{\mathbb{P}}{\to} \xi$.

4

• Доказать переходы между каждой парой (более сильная сходимость => более слабая сходимость).
• Для каждой пары привести пример, когда есть более слабая сходимость, но нет более сильной.

5. Если $\xi_n \overset{d}{\to} const$, то $\xi_n \overset{\mathbb{P}}{\to} const$

Дома

1. (1) Пусть $\xi_n \overset{\textrm{п.н.}}{\to} 1$ и $\mu_n \overset{\textrm{п.н.}}{\to} 1$. Тогда $\xi_n\mu_n \overset{\textrm{п.н.}}{\to} 1$

2. (1) Пусть $\xi_n \overset{\mathbb{P}}{\to} 1$ и $\mu_n \overset{\mathbb{P}}{\to} 1$. Тогда $\frac{1}{\xi_n + \mu_n} \overset{\mathbb{P}}{\to} \frac{1}{2}$

3. (1) Пусть $\xi_n$ - последовательность независимых и равномерно распределенных на [0,1] случайных величин.

Найдите последовательность распределений случайной величины $m_n=\min (\xi_1,\ldots,\xi_n)$. Докажите, что $m_n$ стремится почти наверное к 0

4. (1) Пусть $\xi_n \overset{d}{\to} \xi$ и $a_n \to a$, где $\{a_n\}$ - числовая последовательность ($a \in \mathbb{R}$). Доказать $a_n\xi_n \overset{d}{\to} a\xi$

5. Пусть $\alpha > 0$ и $E|\xi_n|^\alpha < \infty$ при всех n. Доказать, что следующие утверждения:

• (1) Если $\xi_n \overset{\mathbb{P}}{\to} \xi$, то $E|\xi_n - \xi|^\alpha \underset{n \to \infty}{\to} 0$
• (1) Если $E|\xi_n - \xi|^\alpha \underset{n \to \infty}{\to} 0$, то $\xi_n \overset{\mathbb{P}}{\to} \xi$

Гробы (все по 2)

1. Пусть $\{\xi_i\}_{i=1}^{\infty}$ - положительно определенные и $E|\xi_n - \xi| \to 0$. Сходится ли $E|\xi_n + k| \to E|\xi+k|$ для k из $\mathbb{R_{+}}$.